Показательная функция 10. Показательная функция, ее свойства и график

Показательная функция - это обобщение произведения n чисел, равных a :
y(n) = a n = a·a·a···a ,
на множество действительных чисел x :
y(x) = a x .
Здесь a - фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции .
Показательную функцию с основанием a также называют экспонентой по основанию a .

Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,... , показательная функция является произведением x множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел , показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n рациональных чисел, , ее определяют по формуле(1.11). Для действительных , показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где - произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x : .
При таком определении, показательная функция определена для всех , и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x .

Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции ».

Свойства показательной функции

Показательная функция y = a x , имеет следующие свойства на множестве действительных чисел () :
(1.1) определена и непрерывна, при , для всех ;
(1.2) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(1.3) строго возрастает при , строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:

При b = e , получаем выражение показательной функции через экспоненту:

Частные значения

, , , , .

На рисунке представлены графики показательной функции
y(x) = a x
для четырех значений основания степени : a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a , тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a , тем более сильное убывание.

Возрастание, убывание

Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

	y = a x , a > 1	y = a x , 0 < a < 1
Область определения	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значений	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	нет	нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .

Если , то
.
Если , то
.

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.

Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e :

Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную

Тогда

Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z ):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z по x равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.

Производная показательной функции

.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Пример дифференцирования показательной функции

Найти производную функции
y = 3 5 x

Решение

Выразим основание показательной функции через число e .
3 = e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда

Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3 - это постоянная, то производная z по x равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.

Ответ

Интеграл

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
f(z) = a z
где z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ :
a = r e i φ
Тогда

.
Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2 πn ,
где n - целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.

Разложение в ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Концентрация внимания:

Определение. Функция вида называется показательной функцией .

Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:

Само аналитическое выражение a x в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения x y точка x = 1; y = 1 входит в область допустимых значений.

Построить графики функций: и .



График показательной функции
y = a x , a > 1	y = a x , 0< a < 1

Свойства показательной функции

Свойства показательной функции	y = a x , a > 1	y = a x , 0< a < 1
Область определения функции
2. Область значений функции
3.Промежутки сравнения с единицей	при x > 0, a x > 1	при x > 0, 0< a x < 1
	при x < 0, 0< a x < 1	при x < 0, a x > 1
4. Чётность, нечётность.	Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5.Монотонность.	монотонно возрастает на R	монотонно убывает на R
6. Экстремумы.	Показательная функция экстремумов не имеет.
7.Асимптота	Ось O x является горизонтальной асимптотой.
8. При любых действительных значениях x и y ;

Когда заполняется таблица, то параллельно с заполнением решаются задания.

Задание № 1. (Для нахождения области определения функции).

Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:

Задание № 2. (Для нахождения области значений функции).

На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:

Задание № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей).

Каждую из следующих степеней сравните с единицей:

Задание № 4. (Для исследования функции на монотонность).

Сравнить по величине действительные числа m и n если:

Задание № 5. (Для исследования функции на монотонность).

Сделайте заключение относительно основания a , если:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4 x

Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

В одной координатной плоскости построены графики функций:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .

Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Число одна из важнейших постоянных в математике. По определению, оно равно пределу последовательности при неограниченном возрастании n . Обозначение e ввёл Леонард Эйлер в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в десятичной записи, а само число назвали в честь Непера «неперовым числом».

Число e играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием e , называется экспонентой и обозначается y = e x .

Первые знаки числа e запомнить несложно: два, запятая, семь, год рождения Льва Толстого - два раза, сорок пять, девяносто, сорок пять.

Домашнее задание:

Колмогоров п. 35; № 445-447; 451; 453.

Повторить алгоритм построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля.

Гипермаркет знаний >>Математика >>Математика 10 класс >>

Показательная функция, ее свойства и график

Рассмотрим выражение 2х и найдем его значения при различных рациональных значениях переменной х, например, при х=2;

Вообще, какое бы рациональное значение мы ни придали переменной х, всегда можно вычислить соответствующее числовое значение выражения 2 х. Таким образом, можно говорить о показательной функции у=2 х, определенной на множестве Q рациональных чисел:

Рассмотрим некоторые свойства этой функции.

Свойство 1. - возрастающая функция. Доказательство осуществим в два этапа.
Первый этап. Докажем, что если r - положительное рациональное число, то 2 r >1.
Возможны два случая: 1) r - натуральное число, r = n; 2) обыкновенная несократимая дробь ,

В левой части последнего неравенства имеем , а в правой 1. Значит, последнее неравенство можно переписать в виде

Итак, в любом случае выполняется неравенство 2 г > 1, что и требовалось доказать.

Второй этап. Пусть x 1 и x 2 - числа, причем x 1 и x 2 < х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(мы обозначили разность х 2 -х 1 буквой r).

Так как r- положительное рациональное число, то по доказанному на первом этапе 2 r > 1, т.е. 2 r -1 >0. Число2х" также положительно, значит, положительным является и произведение 2 x-1 (2 Г -1). Тем самым мы доказали, что справедливо неравенство 2 Хг -2х" >0.

Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Свойство 2. ограничена снизу и не ограничена сверху.
Ограниченность функции снизу следует из неравенства 2 х >0, справедливого для любых значений х из области определения функции. В то же время какое бы положительное число М ни взять, всегда можно подобрать такой показатель х, что будет выполняться неравенство 2 х >М - что и характеризует неограниченность функции сверху. Приведем ряд примеров.

Свойство 3. не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

То, что данная функция не имеет наибольшего значения, очевидно, поскольку она, как мы только что видели, не ограничена сверху. Но снизу она ограничена, почему же у нее нет наименьшего значения?

Предположим, что 2 г - наименьшее значение функции (r - некоторый рациональный показатель). Возьмем рациональное число q <г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Все это хорошо, скажете вы, но почему мы рассматриваем функцию у-2 х только на множестве рациональных чисел, почему мы не рассматриваем ее, как другие известные функции на всей числовой прямой или на каком-либо сплошном промежутке числовой прямой? Что нам мешает? Обдумаем ситуацию.

Числовая прямая содержит не только рациональные, но и иррациональные числа. Для изученных ранее функций это нас не смущало. Например, значения функции у = х 2 мы одинаково легко находили как при рациональных, так и при иррациональных значениях х: достаточно было заданное значение х возвести в квадрат.

А вот с функцией у=2 x дело обстоит сложнее. Если аргументу х придать рациональное значение, то в принципе x вычислить можно (вернитесь еще раз к началу параграфа, где мы именно это и делали). А если аргументу х придать иррациональное значение? Как, например, вычислить? Этого мы пока не знаем.
Математики нашли выход из положения; вот как они рассуждали.

Известно, что Рассмотрим последовательность рациональных чисел - десятичных приближений числа по недостатку:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Ясно, что 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание подобных повторов отбросим те члены последовательности, которые заканчиваются цифрой 0.

Тогда получим возрастающую последовательность:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Соответственно возрастает и последовательность

Все члены этой последовательности - положительные числа, меньшие, чем 22, т.е. эта последовательность - ограниченная. Апо теореме Вейерштрасса (см. § 30), если последовательность возрастает и ограничена, то она сходится. Кроме того, из § 30 нам известно, что если последовательность сходится, то только к одному пределу. Этот единственный предел договорились считать значением числового выражения . И неважно, что найти даже приб-лиженное значение числового выражения 2 очень трудно; важно, что это - конкретное число (в конце концов, мы же не боялись говорить, что, например, - корень рационального уравнения, корень тригонометрического уравнения, не особенно задумываясь над тем, а что же это конкретно за числа:
Итак, мы выяснили, какой смысл вкладывают математики в символ 2^. Аналогично можно определить, что такое и вообще, что такое а a , где а - иррациональное число и а > 1.
А как быть в случае, когда 0 <а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Теперь мы можем говорить не только о степенях с произвольными рациональными показателями, но и о степенях с произвольными действительными показателями. Доказано, что степени с любыми действительными показателями обладают всеми привычными свойствами степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении - вычитаются, при возведении степени в степень - перемножаются и т.д. Но самое главное, что теперь мы можем говорить о функции у-ах, определенной на множестве всех действительных чисел.
Вернемся к функции у = 2 х, построим ее график. Для этого составим таблицу значений функции у=2 x:

Отметим точки на координатной плоскости (рис. 194), они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 195).

Свойства функции у - 2 х:
1)
2) не является ни четной, ни нечетной; 248
3) возрастает;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)
8) выпукла вниз.

Строгие доказательства перечисленных свойств функции у-2 х приводят в курсе высшей математики. Часть этих свойств мы в той или иной мере обсудили ранее, часть из них наглядно демонстрирует построенный график (см. рис. 195). Например, отсутствие четности или нечетности функции геометрически связано с отсутствием симметрии графика соответственно относительно оси у или относительно начала координат.

Аналогичными свойствами обладает любая функция вида у=а х, где а >1. На рис. 196 в одной системе координат построены, графики функций у=2 х, у=3 х, у=5 х.

Рассмотрим теперь функцию , составим для нее таблицу значений:

Отметим точки на координатной плоскости (рис. 197), они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 198).

Свойства функции

1)
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) убывает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)
8) выпукла вниз.
Аналогичными свойствами обладает любая функция вида у=а х, гдеО <а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Обратите внимание: графики функций т.е. у=2 х, симметричны относительно оси у (рис. 201). Это - следствие общего утверждения (см. § 13): графики функций у = f(х) и у = f(-х) симметричны относительно оси у. Аналогично будут симметричны относительно оси у графики функций у = 3 х и

Подводя итог сказанному, дадим определение показательной функции и выделим наиболее важные ее свойства.

Определение. Функцию вида называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции у =а x

График функции у=а х для а> 1 изображен на рис. 201, а для 0 <а < 1 - на рис. 202.

Кривую, изображенную на рис. 201 или 202, называют экспонентой. На самом деле математики экспонентой обычно.называют саму показательную функцию у=а х. Так что термин "экспонента" используется в двух смыслах: и для наименования показательной функции, и для названия графика показательной функции. Обычно по смыслу бывает ясно, идет речь о показательной функции или о ее графике.

Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной функции у=ах: ось х является горизонтальной асимптотой графика. Правда, обычно это утверждение уточняют следующим образом.
Ось х является горизонтальной асимптотой графика функции

Иными словами

Первое важное замечание. Школьники часто путают термины: степенная функция, показательная функция. Сравните:

Это примеры степенных функций;

- это примеры показательных функций.

Вообще, у = х г, где г - конкретное число, - степенная функция (аргумент х содержится в основании степени);
у = а", где а - конкретное число (положительное и отличное от 1), - показательная функция (аргумент х содержится в показателе степени).

Атакую «экзотическую» функцию, как у = х", не считают ни показательной, ни степенной (ее иногда называют показательно-степенной).

Второе важное замечание. Обычно не рассматривают показательную функцию с основанием а = 1 или с основанием а, удовлетворяющим неравенству а <0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0и а Дело в том, что если а = 1, то для любого значения х выполняется равенство Iх = 1. Таким образом, показательная функция у = а" при а = 1 «вырождается» в постоянную функцию у = 1 - это неинтересно. Если а = 0, то 0х = 0 для любого положительного значения х, т.е. мы получаем функцию у = 0, определенную при х >0, - это тоже неинтересно. Если, наконец, а <0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Прежде чем переходить к решению примеров, заметим, что показательная функция существенно отличается от всех функций, которые вы изучали до сих пор. Чтобы основательно изучить новый объект, надо рассмотреть его с разных сторон, в разных ситуациях, поэтому примеров будет много.
Пример 1.

Решение , а) Построив в одной системе координат графики функций у = 2 х и у = 1, замечаем (рис. 203), что они имеют одну общую точку (0; 1). Значит, уравнение 2х = 1 имеет единственный корень х =0.

Итак, из уравнения 2х =2° мы получили х=0.

б) Построив в одной системе координат графики функций у = 2 х и у=4, замечаем (рис. 203), что они имеют одну общую точку (2; 4). Значит, уравнение 2х =4 имеет единственный корень х=2.

Итак, из уравнения 2 х =2 2 мы получили х=2.

в) и г) Исходя из тех же соображений, делаем вывод, что уравнение 2 х =8 имеет единственный корень, причем для его отыскания графики соответствующих функций можно и не строить;

ясно, что х=3, поскольку 2 3 =8. Аналогично находим единственный корень уравнения

Итак, из уравнения 2х = 2 3 мы получили х = 3, а из уравнения 2 х = 2 x мы получили х = -4.
д) График функции у = 2 х расположен выше графика функции у = 1 при x >0 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х > 1 служит промежуток
е) График функции у = 2 x расположен ниже графика функции у = 4 при х<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Вы заметили, наверное, что в основе всех выводов, сделанных при решении примера 1, лежало свойство монотонности (возрастания) функции у=2 х. Аналогичные рассуждения позволяют убедиться в справедливости следующих двух теорем.

Решение. Можно действовать так: построить график функции у-3 х, затем осуществить его растяжение от оси х с коэффициентом 3, а затем полученный график поднять вверх на 2 единицы масштаба. Но удобнее воспользоваться тем, что 3- 3* =3 *+1, и, следовательно, строить график функции у=З х*1 + 2.

Перейдем, как неоднократно уже делали в таких случаях, к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 2) - пунктирные прямые х = - 1 и 1x = 2 на рис. 207. «Привяжем» функцию у=3* к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функции , но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 207). Затем по точкам построим экспоненту - это и будет требуемый график (см. рис. 207).
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке [-2, 2], воспользуемся тем, что заданная функция возрастает, а потому свои наименьшее и наибольшее значения она принимает соответственно в левом и правом концах отрезка.
Итак:

Пример 4. Решить уравнение и неравенства:

Решение , а) Построим в одной системе координат графики функций у=5* и у=6-х (рис. 208). Они пересекаются в одной точке; судя по чертежу, это - точка (1; 5). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 5) удовлетворяет и уравнению у = 5*, и уравнению у=6-х. Абсцисса этой точки служит единственным корнем заданного уравнения.

Итак, уравнение 5 х = 6- х имеет единственный корень х = 1.

б) и в) Экспонента у- 5х лежит выше прямой у=6-х, если х>1, - это хорошо видно на рис. 208. Значит, решение неравенства5*>6-х можно записать так: х>1. А решение неравенства 5х <6 - х можно записать так: х < 1.
Ответ: а)х = 1; б)х>1; в)х<1.

Пример 5. Дана функция Доказать, что
Решение. По условию Имеем.

Введем сначала определение показательной функции.

Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$.

Введем свойства показательной функции, при $a >1$.

\ \[корней\ нет.\] \

Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке $(0,1)$.

$f""\left(x\right)={\left(a^xlna\right)}"=a^x{ln}^2a$

\ \[корней\ нет.\] \

График (рис. 1).

Рисунок 1. График функции $f\left(x\right)=a^x,\ при\ a >1$.

Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $0

Введем свойства показательной функции, при $0

Область определения -- все действительные числа.

$f\left(-x\right)=a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ -- функция ни четна, ни нечетна.

$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

Область значения -- интервал $(0,+\infty)$.

$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$

\ \[корней\ нет.\] \ \[корней\ нет.\] \

Функция выпукла на всей области определения.

Поведение на концах области определения:

\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=0\]

График (рис. 2).

Пример задачи на построение показательной функции

Исследовать и построить график функции $y=2^x+3$.

Решение.

Проведем исследование по примеру схемы выше:

Область определения -- все действительные числа.

$f\left(-x\right)=2^{-x}+3$ -- функция ни четна, ни нечетна.

$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

Область значения -- интервал $(3,+\infty)$.

$f"\left(x\right)={\left(2^x+3\right)}"=2^xln2>0$

Функция возрастает на всей области определения.

$f(x)\ge 0$ на всей области определения.

Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке ($0,4)$

$f""\left(x\right)={\left(2^xln2\right)}"=2^x{ln}^22>0$

Функция выпукла на всей области определения.

Поведение на концах области определения:

\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=0\] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=+\infty \]

График (рис. 3).

Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=2^x+3$

1.Показательная функция – это функция вида у(х) =а х, зависящая от показателя степени х, при постоянном значении основания степени a , где а > 0, a ≠ 0, xϵR (R – множество действительных чисел).

Рассмотрим график функции, если основание не будет удовлетворять условию: а>0
a) a < 0
Если a < 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
а = -2

Если а = 0 – функция у = определена и имеет постоянное значение 0

в) а =1
Если а = 1 – функция у = определена и имеет постоянное значение 1

2. Рассмотрим подробнее показательную функцию:

0

Область определения функции (ООФ)

Область допустимых значений функции (ОДЗ)

3. Нули функции (у = 0)

4. Точки пересечения с осью ординат oy (x = 0)

5. Возрастания, убывания функции

Если , то функция f(x) возрастает
Если , то функция f(x) убывает
Функция y= , при 0 Функция у =, при a> 1 монотонно возрастает
Это следует из свойств монотонности степени с действительным показателем.

6. Чётность, нечётность функции

Функция у = не симметрична относительно оси 0у и относительно началу координат, следовательно не является ни чётной, ни нечётной. (Функция общего вида)

7. Функция у = экстремумов не имеет

8. Свойства степени с действительным показателем:

Пусть а > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Тогда для xϵR; yϵR: